Una parabola è un grafico di una funzione quadratica ed è una curva liscia a forma di "U". Le parabole sono anche simmetriche, il che significa che possono essere piegate lungo una linea in modo che tutti i punti su un lato della linea di piegatura coincidano con i punti corrispondenti sull'altro lato della linea di piegatura. La linea di piega, chiamata asse di simmetria, è la linea verticale che attraversa il verex. Ogni punto della parabola è equidistante da un punto fisso (il fuoco) e da una retta fissa (la direttrice). Per rappresentare graficamente una parabola, devi trovare il suo vertice e diversi punti su entrambi i lati del vertice per contrassegnare il percorso che i punti percorrono.
Passi
Parte 1 di 2: Rappresentazione grafica di una parabola
Passaggio 1. Comprendi le parti di una parabola
È possibile che ti vengano fornite determinate informazioni prima di iniziare e conoscere la terminologia ti aiuterà a evitare passaggi non necessari. Ecco le parti della parabola che devi conoscere:
- La messa a fuoco. Punto fisso all'interno della parabola che viene utilizzato per la definizione formale della curva.
- La direttrice. Una linea retta, fissa. La parabola è il luogo (serie) di punti in cui ogni punto dato è di uguale distanza dal fuoco e dalla direttrice. (Vedi lo schema sopra.)
- L'asse di simmetria. Questa è una retta che passa per il punto di svolta ("vertice") della parabola ed è equidistante dai punti corrispondenti sui due bracci della parabola.
- Il vertice. Il punto in cui l'asse di simmetria interseca la parabola si chiama vertice della parabola. Se la parabola si apre verso l'alto o verso destra, il vertice è un punto di minimo della curva. Se si apre verso il basso o verso sinistra, il vertice è un punto di massimo.
Passaggio 2. Conoscere l'equazione di una parabola
L'equazione generale di una parabola è y = ax2+ bx + c. Può anche essere scritto nella forma ancora più generale y = a(x – h)² + k, ma qui ci concentreremo sulla prima forma dell'equazione.
- Se il coefficiente a nell'equazione è positivo, la parabola si apre verso l'alto (in una parabola orientata verticalmente), come la lettera "U", e il suo vertice è un punto di minimo. Se a è negativo, la parabola si apre verso il basso e ha un vertice nel suo punto massimo. Se hai difficoltà a ricordarlo, pensala in questo modo: un'equazione con un valore a positivo sembra un sorriso; un'equazione con un valore negativo a sembra un cipiglio.
- Supponiamo che tu abbia la seguente equazione: y = 2x2 -1. Questa parabola avrà la forma di una "U" perché il valore a (2) è positivo.
- Se l'equazione ha un termine y al quadrato invece di un termine x al quadrato, la parabola sarà orientata orizzontalmente e aperta lateralmente, a destra oa sinistra, come una "C" o una "C" rovesciata. Ad esempio, la parabola y2 = x + 3 si apre a destra, come una "C."
Passaggio 3. Trova l'asse di simmetria
Ricorda che l'asse di simmetria è la retta che passa per il punto di svolta (vertice) della parabola. Nel caso di una parabola verticale (apertura verso l'alto o verso il basso), l'asse è uguale alla coordinata x del vertice, che è il valore x del punto in cui l'asse di simmetria incrocia la parabola. Per trovare l'asse di simmetria, usa questa formula: x = -b/2a.
- Nell'esempio sopra (y = 2x² -1), a = 2 e b = 0. Ora puoi calcolare l'asse di simmetria inserendo i numeri: x = -0 / (2)(2) = 0.
- In questo caso l'asse di simmetria è x = 0 (che è l'asse y del piano delle coordinate).
Passaggio 4. Trova il vertice
Una volta che conosci l'asse di simmetria, puoi inserire quel valore per x per ottenere la coordinata y. Queste due coordinate ti daranno il vertice della parabola. In questo caso, collegherai 0 a 2x2 -1 per ottenere la coordinata y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Il vertice è (0, -1) e la parabola attraversa l'asse y in -1.
Le coordinate del vertice sono talvolta note come (h, k). In questo caso h è 0 e k è -1. L'equazione della parabola può essere scritta nella forma y = a(x – h)² + k. In questa forma il vertice è il punto (h, k) e non è necessario eseguire calcoli per trovare il vertice oltre a interpretare correttamente il grafico
Passaggio 5. Imposta una tabella con i valori scelti di x
Crea una tabella con particolari valori di x nella prima colonna. Questa tabella ti fornirà le coordinate necessarie per rappresentare graficamente l'equazione.
- Il valore medio di x dovrebbe essere l'asse di simmetria nel caso di una parabola "verticale".
- Dovresti includere almeno due valori sopra e sotto il valore medio per x nella tabella per motivi di simmetria.
- In questo esempio, metti il valore dell'asse di simmetria (x = 0) al centro della tabella.
Passaggio 6. Calcolare i valori delle coordinate y corrispondenti
Sostituisci ogni valore di x nell'equazione della parabola e calcola i corrispondenti valori di y. Inserisci questi valori calcolati di y nella tabella. In questo esempio, i valori di y sono calcolati come segue:
- Per x = -2, y è calcolato come: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Per x = -1, y è calcolato come: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Per x = 0, y è calcolato come: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Per x = 1, y è calcolato come: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Per x = 2, y è calcolato come: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Passaggio 7. Inserire i valori calcolati di y nella tabella
Ora che hai trovato almeno cinque coppie di coordinate per la parabola, sei quasi pronto per tracciarla graficamente. In base al tuo lavoro, ora hai i seguenti punti: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Ricorda che la parabola è riflessa (simmetrica) rispetto all'asse di simmetria. Ciò significa che le coordinate y dei punti direttamente attraverso l'asse di simmetria l'uno dall'altro saranno le stesse. Le coordinate y per le coordinate x -2 e +2 sono entrambe 7; le coordinate y per le coordinate x -1 e +1 sono entrambe 1 e così via.
Passaggio 8. Tracciare i punti della tabella sul piano delle coordinate
Ogni riga della tabella forma una coppia di coordinate (x, y) sul piano delle coordinate. Disegna tutti i punti utilizzando le coordinate fornite nella tabella.
- L'asse x è orizzontale; l'asse y è verticale.
- I numeri positivi sull'asse y sono sopra il punto (0, 0) ei numeri negativi sull'asse y sono sotto il punto (0, 0).
- I numeri positivi sull'asse x si trovano a destra del punto (0, 0) e i numeri negativi sull'asse x sono a sinistra del punto (0, 0).
Passaggio 9. Collegare i punti
Per rappresentare graficamente la parabola, collega i punti tracciati nel passaggio precedente. Il grafico in questo esempio apparirà come una U. Collega i punti usando linee leggermente curve (piuttosto che dritte). Questo creerà l'immagine più accurata della parabola (che è almeno leggermente curva per tutta la sua lunghezza). A entrambe le estremità della parabola puoi disegnare frecce che puntano lontano dal vertice, se lo desideri. Questo indicherà che la parabola continua all'infinito.
Parte 2 di 2: spostamento del grafico di una parabola
Se vuoi una scorciatoia per spostare una parabola senza doverne ritrovare il vertice e ritracciare più punti su di essa, dovrai capire come leggere l'equazione di una parabola e imparare a spostarla verticalmente o orizzontalmente. Inizia con la parabola di base: y = x2. Questo ha il suo vertice in (0, 0) e si apre verso l'alto. I punti su di esso includono (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) e (2, 4). Puoi spostare una parabola in base alla sua equazione.
Passaggio 1. Spostare una parabola verso l'alto
Considera l'equazione y = x2 +1. Questo sposta la parabola originale verso l'alto di 1 unità. Il vertice è ora (0, 1) invece di (0, 0). Manterrà la forma esatta della parabola originale, ma ogni coordinata y verrà spostata verso l'alto di 1 unità. Quindi, invece di (-1, 1) e (1, 1), tracciamo (-1, 2) e (1, 2).
Passaggio 2. Spostare una parabola verso il basso
Prendi l'equazione y = x2 -1. Stiamo spostando la parabola originale verso il basso di 1 unità, in modo che il vertice sia ora (0, -1) invece di (0, 0). Avrà ancora la stessa forma della parabola originale, ma ogni coordinata y verrà spostata verso il basso di 1 unità. Quindi, invece di (-1, 1) e (1, 1), ad esempio, tracciamo (-1, 0) e (1, 0).
Passaggio 3. Sposta una parabola a sinistra
Considera l'equazione y = (x + 1)2. Questo sposta la parabola originale di un'unità a sinistra. Il vertice è ora (-1, 0) invece di (0, 0). Mantiene la forma della parabola originale, ma ogni coordinata x viene spostata a sinistra di un'unità. Invece di (-1, 1) e (1, 1), ad esempio, tracciamo (-2, 1) e (0, 1).
Passaggio 4. Spostare una parabola a destra
Considera l'equazione y = (x - 1)2. Questa è la parabola originale spostata di un'unità a destra. Il vertice è ora (1, 0) invece di (0, 0). Mantiene la forma della parabola originale, ma ogni coordinata x verrà spostata a destra di un'unità. Invece di (-1, 1) e (1, 1), ad esempio, tracciamo (0, 1) e (2, 1).
