Una guarnizione apollinea è un tipo di immagine frattale che è formata da una raccolta di cerchi sempre più piccoli contenuti all'interno di un unico grande cerchio. Ogni cerchio nella Guarnizione Apollinea è tangente ai cerchi adiacenti - in altre parole, i cerchi nella Guarnizione Apollinea entrano in contatto in punti infinitamente piccoli. Chiamato per il matematico greco Apollonio di Perga, questo tipo di frattale può essere disegnato (a mano o al computer) a un ragionevole grado di complessità, formando un'immagine bella e sorprendente. Vedere il passaggio 1 di seguito per iniziare.
Passi
Parte 1 di 2: Comprendi i concetti chiave
Per essere perfettamente chiari, se sei semplicemente interessato a disegnare una guarnizione apollinea, non è essenziale ricercare i principi matematici alla base del frattale. Tuttavia, se desideri una comprensione più profonda delle guarnizioni apollinee, è importante comprendere le definizioni di diversi concetti che utilizzeremo quando li discuteremo.
Passaggio 1. Definire i termini chiave
Nelle istruzioni seguenti vengono utilizzati i seguenti termini:
- Guarnizione apollinea: uno dei tanti nomi per un tipo di frattale composto da una serie di cerchi annidati all'interno di un grande cerchio e tangenti a tutti gli altri vicini. Questi sono anche chiamati "Soddy Circles" o "Kissing Circles".
- Raggio di un cerchio: la distanza dal punto centrale di un cerchio al suo bordo. Solitamente assegnata la variabile r.
- Curvatura di un cerchio: l'inverso positivo o negativo del raggio, o ±1/r. La curvatura è positiva quando si tratta della curvatura esterna del cerchio e negativa per la curvatura interna.
- Tangente: termine applicato a linee, piani e forme che si intersecano in un punto infinitamente piccolo. Nelle Guarnizioni Apollinee, questo si riferisce al fatto che ogni cerchio tocca ogni cerchio vicino in un solo punto. Nota che non c'è intersezione: le forme tangenti non si sovrappongono.
Passaggio 2. Comprendi il teorema di Cartesio
Il Teorema di Cartesio è una formula utile per calcolare le dimensioni dei cerchi in una Guarnizione Apollinea. Se definiamo le curvature (1/r) di tre cerchi qualsiasi come a, b, e c, rispettivamente, il Teorema afferma che la curvatura del cerchio (o dei cerchi) tangente a tutti e tre, che definiremo d, è: d = a + b + c ± 2 (quadrato (a × b + b × c + c × a)).
Per i nostri scopi, in genere utilizzeremo solo la risposta che otteniamo anteponendo il segno più alla radice quadrata (in altre parole, … + 2 (sqrt(…)). Per ora basta sapere che la sottrazione forma dell'equazione ha i suoi usi in altri compiti correlati
Parte 2 di 2: Costruzione della guarnizione apollinea
Le guarnizioni apollinee prendono la forma di bellissime disposizioni frattali di cerchi che si restringono. Matematicamente, le guarnizioni apollinee hanno una complessità infinita, ma, sia che tu stia utilizzando un programma di disegno al computer o strumenti di disegno tradizionali, alla fine raggiungerai un punto in cui è impossibile disegnare cerchi più piccoli. Nota che più precisamente disegni i tuoi cerchi, più sarai in grado di adattarsi alla tua guarnizione.
Passaggio 1. Raccogli i tuoi strumenti di disegno digitali o analogici
Nei passaggi seguenti, creeremo la nostra semplice guarnizione apollinea. E' possibile disegnare Guarnizioni Apollinee a mano o al computer. In entrambi i casi, vorrai essere in grado di disegnare cerchi perfettamente rotondi. Questo è abbastanza importante. Poiché ogni cerchio in una guarnizione apollinea è perfettamente tangente ai cerchi adiacenti, i cerchi anche leggermente deformati possono "gettare via" il tuo prodotto finale.
- Se disegni la Guarnizione su un computer, avrai bisogno di un programma che ti permetta di disegnare facilmente cerchi di raggio fisso da un punto centrale. È possibile utilizzare Gfig, un'estensione di disegno vettoriale per il programma gratuito di modifica delle immagini GIMP, così come un'ampia varietà di altri programmi di disegno (vedere la sezione materiali per i collegamenti pertinenti). Probabilmente avrai anche bisogno di un'applicazione calcolatrice e di un documento di elaboratore di testi o di un blocco note fisico per prendere appunti su curvature e raggi.
- Per disegnare a mano la guarnizione, avrai bisogno di una calcolatrice (suggerita scientifica o grafica), una matita, un compasso, un righello (preferibilmente una scala con segni millimetrici, carta millimetrata e un blocco note per prendere appunti.
Passaggio 2. Inizia con un cerchio grande
Il tuo primo compito è facile: basta disegnare un cerchio grande e perfettamente rotondo. Più grande è il cerchio, più complessa può essere la tua guarnizione, quindi prova a creare un cerchio grande quanto lo consente la tua carta o tanto grande quanto puoi facilmente vedere in una finestra del tuo programma di disegno.
Passaggio 3. Creare un cerchio più piccolo all'interno dell'originale, tangente a un lato
Quindi, disegna un altro cerchio all'interno del primo che è più piccolo dell'originale, ma comunque abbastanza grande. La dimensione esatta del secondo cerchio dipende da te: non esiste una dimensione corretta. Tuttavia, per i nostri scopi, disegniamo il nostro secondo cerchio in modo che raggiunga esattamente la metà del nostro grande cerchio esterno. In altre parole, disegniamo il nostro secondo cerchio in modo che il suo punto centrale sia il punto medio del raggio del cerchio grande.
Ricorda che nelle Guarnizioni Apollinee, tutti i cerchi che si toccano sono tangenti tra loro. Se stai usando un compasso per disegnare i cerchi a mano, ricrea questo effetto mettendo la punta acuminata del compasso nel punto medio del raggio del cerchio grande esterno, regolando la matita in modo che tocchi appena il bordo del cerchio grande, quindi disegna il tuo cerchio interno più piccolo
Passaggio 4. Disegna un cerchio identico "di fronte" al cerchio interno più piccolo
Quindi, disegniamo un altro cerchio di fronte al nostro primo. Questo cerchio dovrebbe essere tangente sia al cerchio esterno grande che al cerchio interno più piccolo, il che significa che i tuoi due cerchi interni si toccheranno esattamente nel punto medio del cerchio esterno grande.
Passaggio 5. Applica il teorema di Cartesio per trovare la dimensione dei tuoi prossimi cerchi
Smettiamo un attimo di disegnare. Ora che abbiamo tre cerchi nella nostra guarnizione, possiamo usare il teorema di Cartesio per trovare il raggio del prossimo cerchio che disegneremo. Ricorda che il teorema di Cartesio è d = a + b + c ± 2 (quadrato (a × b + b × c + c × a)), dove a, b e c sono le curvature dei tuoi tre cerchi tangenti e d è la curvatura del cerchio tangente a tutti e tre. Quindi, per trovare il raggio del nostro prossimo cerchio, troviamo la curvatura di ciascuno dei cerchi che abbiamo finora in modo da poter trovare la curvatura del cerchio successivo, quindi convertirlo nel suo raggio.
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Definiamo il raggio del nostro cerchio esterno come
Passo 1.. Poiché gli altri cerchi sono all'interno di questo, abbiamo a che fare con la sua curvatura interna (piuttosto che con la sua curvatura esterna) e, di conseguenza, sappiamo che la sua curvatura è negativa. -1/r = -1/1 = -1. La curvatura del cerchio grande è - 1.
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I raggi dei cerchi più piccoli sono grandi la metà di quelli del cerchio grande, o, in altre parole, 1/2. Poiché questi cerchi si toccano e il cerchio grande con il loro bordo esterno, abbiamo a che fare con la loro curvatura esterna, quindi le loro curvature sono positive. 1/(1/2) = 2. Le curvature dei cerchi più piccoli sono entrambe
Passo 2..
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Ora, sappiamo che a = -1, b = 2 e c = 2 per l'equazione del teorema di Cartesio. Risolviamo per d:
- d = a + b + c ± 2 (quadrato (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (quadrato (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (quadrato (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
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d = 3. La curvatura del nostro prossimo cerchio è
Passaggio 3.. Poiché 3 = 1/r, il raggio del nostro prossimo cerchio è 1/3.
Passaggio 6. Crea il tuo prossimo set di cerchi
Usa il valore del raggio che hai appena trovato per disegnare i tuoi prossimi due cerchi. Ricorda che questi saranno tangenti ai cerchi le cui curvature hai usato per a, b e c nel teorema di Cartesio. In altre parole, saranno tangenti sia all'originale che al secondo cerchio. Affinché questi cerchi siano tangenti a tutti e tre i cerchi, dovrai disegnarli negli spazi aperti nella parte superiore e inferiore dell'area all'interno del tuo grande cerchio originale.
Ricorda che i raggi di questi cerchi saranno pari a 1/3. Misura 1/3 indietro dal bordo del cerchio esterno, quindi disegna il tuo nuovo cerchio. Dovrebbe essere tangente a tutti e tre i cerchi circostanti
Passaggio 7. Continua in questo modo per continuare ad aggiungere cerchi
Poiché sono frattali, le guarnizioni apollinee sono infinitamente complesse. Ciò significa che puoi aggiungere cerchi sempre più piccoli al contenuto del tuo cuore. Sei limitato solo dalla precisione dei tuoi strumenti (o, se stai usando un computer, dalla capacità del tuo programma di disegno di "ingrandire"). Ogni cerchio, non importa quanto piccolo, dovrebbe essere tangente ad altri tre cerchi. Per disegnare ogni cerchio successivo nella tua Guarnizione, collega le curvature dei tre cerchi a cui sarà tangente nel Teorema di Cartesio. Quindi, usa la tua risposta (che sarà il raggio del tuo nuovo cerchio) per disegnare con precisione il tuo nuovo cerchio.
- Nota che la guarnizione che abbiamo scelto di disegnare è simmetrica, quindi il raggio di un cerchio è lo stesso del cerchio corrispondente "di fronte". Tuttavia, sappi che non tutte le guarnizioni apollinee sono simmetriche.
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Affrontiamo un altro esempio. Diciamo che, dopo aver disegnato il nostro ultimo set di cerchi, ora vogliamo disegnare i cerchi tangenti al nostro terzo set, al nostro secondo set e al nostro grande cerchio esterno. Le curvature di questi cerchi sono rispettivamente 3, 2 e -1. Inseriamo questi numeri nel teorema di Cartesio, ponendo a = -1, b = 2 e c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (quadrato (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (quadrato (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (quadrato (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (quadrato (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
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d = 2, 6. Abbiamo due risposte! Tuttavia, poiché sappiamo che il nostro nuovo cerchio sarà più piccolo di tutti i cerchi a cui è tangente, solo una curvatura di
Passaggio 6. (e quindi un raggio di 1/6) ha senso.
- L'altra nostra risposta, 2, si riferisce in realtà all'ipotetico cerchio dall'altra parte del punto di tangenza del nostro secondo e terzo cerchio. Questo cerchio è tangente a entrambi questi cerchi e al grande cerchio esterno, ma intersecherebbe i cerchi che abbiamo già disegnato, quindi possiamo ignorarlo.
Passaggio 8. Per una sfida, prova a creare una guarnizione apollinea non simmetrica modificando le dimensioni del tuo secondo cerchio
Tutte le guarnizioni apollinee iniziano allo stesso modo, con un grande cerchio esterno che funge da bordo del frattale. Tuttavia, non c'è motivo per cui il tuo secondo cerchio debba necessariamente avere metà del raggio del primo - abbiamo appena scelto di farlo sopra perché è semplice e facile da capire. Per divertimento, prova a iniziare una nuova Guarnizione con un secondo cerchio di dimensioni diverse: questo porterà a nuove entusiasmanti vie di esplorazione.
