Una funzione razionale è un'equazione che assume la forma y = N(x)/D(x) dove N e D sono polinomi. Il tentativo di tracciare un grafico accurato di uno a mano può essere una revisione completa di molti dei più importanti argomenti di matematica delle scuole superiori, dall'algebra di base al calcolo differenziale. Considera il seguente esempio: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Passi
Passaggio 1. Trova l'intercetta y
Basta impostare x = 0. Tutto tranne i termini costanti svaniscono, lasciando y = 5/2. Esprimendolo come una coppia di coordinate, (0, 5/2) è un punto sul grafico. Grafico quel punto.
Passaggio 2. Trova l'asintoto orizzontale
Dividi lungo il denominatore nel numeratore per determinare il comportamento di y per grandi valori assoluti di x. In questo esempio, la divisione mostra che y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Per grandi valori positivi o negativi di x, 17/(8 x + 4) si avvicina a zero e il grafico approssima la linea y = (1/2) x - (7/4). Usando una linea tratteggiata o leggermente disegnata, traccia questa linea.
- Se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore, non c'è divisione da fare e l'asintoto è y = 0.
- Se deg(N) = deg(D), l'asintoto è una linea orizzontale nel rapporto dei coefficienti principali.
- Se deg(N) = deg(D) + 1, l'asintoto è una retta la cui pendenza è il rapporto dei coefficienti guida.
- Se deg(N) > deg(D) + 1, allora per grandi valori di | x |, y va rapidamente all'infinito positivo o negativo come polinomio quadratico, cubico o di grado superiore. In questo caso, probabilmente non vale la pena rappresentare graficamente con precisione il quoziente della divisione.
Passaggio 3. Trova gli zeri
Una funzione razionale ha zero quando il numeratore è zero, quindi poni N(x) = 0. Nell'esempio, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Il discriminante di questo quadratico è b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Poiché il discriminante è negativo, N(x), e di conseguenza f(x), non ha radici reali. Il grafico non interseca mai l'asse x. Se sono stati trovati degli zeri, aggiungi quei punti al grafico.
Passaggio 4. Trova gli asintoti verticali
Un asintoto verticale si verifica quando il denominatore è zero. Impostando 4 x + 2 = 0 si ottiene la linea verticale x = -1/2. Disegna ogni asintoto verticale con una linea chiara o tratteggiata. Se un certo valore di x rende sia N(x) = 0 che D(x) = 0, potrebbe esserci o meno un asintoto verticale. Questo è raro, ma vedi i suggerimenti su come affrontarlo se si verifica.
Passaggio 5. Osserva il resto della divisione nel passaggio 2
Quando è positivo, negativo o zero? Nell'esempio il numeratore del resto è 17 che è sempre positivo. Il denominatore, 4 x + 2, è positivo a destra dell'asintoto verticale e negativo a sinistra. Ciò significa che il grafico si avvicina all'asintoto lineare dall'alto per grandi valori positivi di x e dal basso per grandi valori negativi di x. Poiché 17/(8 x + 4) non può mai essere zero, questo grafico non interseca mai la retta y = (1/2) x - (7/4). Non aggiungere nulla al grafico in questo momento, ma annota queste conclusioni per dopo.
Passaggio 6. Trova gli estremi locali
Un estremo locale può verificarsi ogni volta che N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. Nell'esempio, N'(x) = 4 x - 6 e D'(x) = 4 N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Espansione, combinazione di termini e divisione per 4 foglie x 2 + x - 4 = 0. La formula quadratica mostra le radici vicine a x = 3/2 e x = -5/2. (Questi differiscono di circa 0,06 dai valori esatti, ma il nostro grafico non sarà abbastanza preciso da preoccuparsi di quel livello di dettaglio. La scelta di un'approssimazione razionale decente semplifica il passaggio successivo.)
Passaggio 7. Trova i valori y di ciascun estremo locale
Reinserisci i valori x del passaggio precedente nella funzione razionale originale per trovare i corrispondenti valori y. Nell'esempio, f(3/2) = 1/16 e f(-5/2) = -65/16. Aggiungi questi punti, (3/2, 1/16) e (-5/2, -65/16), al grafico. Poiché ci siamo approssimati nel passaggio precedente, questi non sono i minimi e i massimi esatti, ma probabilmente sono vicini. (Sappiamo che (3/2, 1/16) è molto vicino al minimo locale. Dal passaggio 3, sappiamo che y è sempre positivo quando x > -1/2 e abbiamo trovato un valore piccolo come 1/16, quindi, almeno in questo caso, l'errore è probabilmente inferiore allo spessore della linea.)
Passaggio 8. Collegare i punti ed estendere dolcemente il grafico dai punti noti agli asintoti avendo cura di avvicinarli dalla direzione corretta
Fare attenzione a non incrociare l'asse x se non nei punti già trovati nel passaggio 3. Non incrociare l'asintoto orizzontale o lineare se non nei punti già trovati nel passaggio 5. Non cambiare da inclinato verso l'alto a inclinato verso il basso tranne che in l'estremo trovato nel passaggio precedente.
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Suggerimenti
- Alcuni di questi passaggi possono comportare la risoluzione di un polinomio di alto grado. Se non riesci a trovare soluzioni esatte tramite fattorizzazione, formule o altri mezzi, stima le soluzioni utilizzando tecniche numeriche come il metodo di Newton.
- Se si seguono i passaggi nell'ordine, di solito non è necessario utilizzare test della derivata seconda o metodi simili potenzialmente complicati per determinare se i valori critici sono massimi locali, minimi locali o nessuno dei due. Prova a utilizzare prima le informazioni dei passaggi precedenti e un po' di logica.
- Se stai cercando di farlo solo con metodi di precalcolo, puoi sostituire i passaggi per trovare gli estremi locali calcolando diverse coppie ordinate aggiuntive (x, y) tra ciascuna coppia di asintoti. In alternativa, se non ti interessa perché funziona, non c'è motivo per cui uno studente di precalcolo non possa prendere la derivata di un polinomio e risolvere N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = 0.
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In rari casi, numeratore e denominatore possono avere un fattore non costante comune. Se stai seguendo i passaggi, questo apparirà come uno zero e un asintoto verticale nello stesso punto. Ciò è impossibile e ciò che effettivamente accade è uno dei seguenti:
- Lo zero in N(x) ha molteplicità maggiore dello zero in D(x). Il grafico di f (x) si avvicina a zero in questo punto, ma è indefinito lì. Indicalo con un cerchio aperto attorno al punto.
- Lo zero in N(x) e lo zero in D(x) hanno uguale molteplicità. Il grafico si avvicina a un punto diverso da zero per questo valore di x, ma lì non è definito. Indicalo nuovamente con un cerchio aperto.
- Lo zero in N(x) ha molteplicità inferiore allo zero in D(x). C'è un asintoto verticale qui.
