Come rappresentare graficamente un'equazione quadratica: 10 passaggi (con immagini)

2024 Autore: Robert Blare | [email protected]. Ultima modifica: 2024-02-02 02:07

Quando sono rappresentate graficamente, equazioni quadratiche della forma ascia² + bx + c o a(x - h)² + k dare una curva a forma di U liscia o una curva a forma di U rovesciata chiamata parabola. Disegnare un'equazione quadratica è una questione di trovare il suo vertice, la direzione e, spesso, le sue intercettazioni x e y. Nei casi di equazioni quadratiche relativamente semplici, potrebbe anche essere sufficiente inserire un intervallo di valori x e tracciare una curva basata sui punti risultanti. Vedere il passaggio 1 di seguito per iniziare.

Passi

Passaggio 1. Determina quale forma di equazione quadratica hai

L'equazione quadratica può essere scritta in tre forme diverse: la forma standard, la forma dei vertici e la forma quadratica. Puoi usare entrambe le forme per rappresentare graficamente un'equazione quadratica; il processo per rappresentare graficamente ciascuno è leggermente diverso. Se stai svolgendo un problema con i compiti, di solito riceverai il problema in una di queste due forme - in altre parole, non sarai in grado di scegliere, quindi è meglio comprenderle entrambe. Le due forme di equazione quadratica sono:

• Modulo standard.

  In questa forma, l'equazione quadratica è scritta come: f(x) = ax² + bx + c dove a, b e c sono numeri reali e a non è uguale a zero.

  Ad esempio, due equazioni quadratiche in forma standard sono f(x) = x² + 2x + 1 e f(x) = 9x² + 10x -8.

• Forma del vertice.

  In questa forma, l'equazione quadratica è scritta come: f(x) = a(x - h)² + k dove a, h e k sono numeri reali e a non è uguale a zero. La forma del vertice è così chiamata perché h e k ti danno direttamente il vertice (punto centrale) della tua parabola nel punto (h, k).

  Due equazioni della forma dei vertici sono f(x) = 9(x - 4)² + 18 e -3(x - 5)² + 1

• Per rappresentare graficamente uno di questi tipi di equazioni, dobbiamo prima trovare il vertice della parabola, che è il punto centrale (h, k) alla "punta" della curva. Le coordinate del vertice in forma standard sono date da: h = -b/2a e k = f(h), mentre in forma di vertice, h e k sono specificati nell'equazione.

Passaggio 2. Definisci le tue variabili

Per essere in grado di risolvere un problema quadratico, di solito è necessario definire le variabili a, b e c (o a, h e k). Un problema di algebra medio ti darà un'equazione quadratica con le variabili compilate, di solito in forma standard, ma a volte in forma di vertice.

• Ad esempio, per l'equazione in forma standard f(x) = 2x² +16x + 39, abbiamo a = 2, b = 16 e c = 39.
• Per l'equazione della forma del vertice f(x) = 4(x - 5)² + 12, abbiamo a = 4, h = 5 e k = 12.

Passaggio 3. Calcola h

Nelle equazioni in forma di vertice, il tuo valore per h è già dato, ma nelle equazioni in forma standard, deve essere calcolato. Ricorda che, per le equazioni in forma standard, h = -b/2a.

• Nel nostro esempio di forma standard (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Risolvendo, troviamo che h = - 4.
• Nel nostro esempio di forma vertice (f(x) = 4(x - 5)² + 12), sappiamo h = 5 senza fare calcoli.

Passaggio 4. Calcola k

Come con h, k è già noto nelle equazioni della forma dei vertici. Per le equazioni in forma standard, ricorda che k = f(h). In altre parole, puoi trovare k sostituendo ogni istanza di x nella tua equazione con il valore che hai appena trovato per h.

• Abbiamo determinato nel nostro esempio di forma standard che h = -4. Per trovare k, risolviamo la nostra equazione con il nostro valore di h sostituendo x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Passaggio 7.

• Nel nostro esempio di forma del vertice, ancora una volta, conosciamo il valore di k (che è 12) senza dover fare alcun calcolo.

Passaggio 5. Traccia il tuo vertice

Il vertice della tua parabola sarà il punto (h, k) - h specifica la coordinata x, mentre k specifica la coordinata y. Il vertice è il punto centrale della tua parabola: la parte inferiore di una "U" o la parte superiore di una "U" capovolta. Conoscere il vertice è una parte essenziale della rappresentazione grafica di una parabola accurata - spesso, nei compiti scolastici, specificare il vertice sarà una parte richiesta di una domanda.

• Nel nostro esempio di forma standard, il nostro vertice sarà a (-4, 7). Quindi, la nostra parabola raggiungerà il picco di 4 spazi a sinistra di 0 e 7 spazi sopra (0, 0). Dovremmo tracciare questo punto sul nostro grafico, assicurandoci di etichettare le coordinate.
• Nel nostro esempio di forma del vertice, il nostro vertice è in (5, 12). Dovremmo tracciare un punto 5 spazi a destra e 12 spazi sopra (0, 0).

Passaggio 6. Disegna l'asse della parabola (opzionale)

L'asse di simmetria di una parabola è la linea che attraversa il suo centro che la divide perfettamente a metà. Attraverso questo asse, il lato sinistro della parabola rifletterà il lato destro. Per quadratiche della forma ax² + bx + c oppure a(x - h)² + k, l'asse è una retta parallela all'asse y (in altre parole perfettamente verticale) e passante per il vertice.

Nel caso del nostro esempio di forma standard, l'asse è una linea parallela all'asse y e passante per il punto (-4, 7). Sebbene non faccia parte della parabola stessa, segnare leggermente questa linea sul grafico può eventualmente aiutarti a vedere come la parabola curva simmetricamente

Passaggio 7. Trova la direzione di apertura

Dopo aver individuato il vertice e l'asse della parabola, dobbiamo sapere se la parabola si apre verso l'alto o verso il basso. Fortunatamente, questo è facile. Se "a" è positivo, la parabola si aprirà verso l'alto, mentre se "a" è negativo, la parabola si aprirà verso il basso (cioè, sarà capovolta).

• Per il nostro esempio di forma standard (f(x) = 2x² +16x + 39), sappiamo di avere una parabola che si apre verso l'alto perché, nella nostra equazione, a = 2 (positivo).
• Per il nostro esempio di forma del vertice (f(x) = 4(x - 5)² + 12), sappiamo di avere anche una parabola che si apre verso l'alto perché a = 4 (positivo).

Passaggio 8. Se necessario, trovare e tracciare x intercetta

Spesso, a scuola, ti verrà chiesto di trovare le intercettazioni x di una parabola (che sono uno o due punti in cui la parabola incontra l'asse x). Anche se non dovessi trovarli, questi due punti possono essere preziosi per disegnare una parabola accurata. Tuttavia, non tutte le parabole hanno intercette x. Se la tua parabola ha un vertice che si apre verso l'alto e ha un vertice sopra l'asse x o se si apre verso il basso e ha un vertice sotto l'asse x, non avrà x intercettazioni. Altrimenti, risolvi le tue x intercettazioni con uno dei seguenti metodi:

• Basta impostare f(x) = 0 e risolvere l'equazione. Questo metodo può funzionare per semplici equazioni quadratiche, specialmente in forma di vertice, ma si rivelerà estremamente difficile per quelle più complicate. Vedi sotto per un esempio

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt(1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 e 13 sono le x-intercette della parabola.

• Fattorizzare la tua equazione. Alcune equazioni nell'ascia² + bx + c può essere facilmente scomposto nella forma (dx + e)(fx +g), dove dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, ed e × g = c. In questo caso, le tue x intercettazioni sono i valori per x che rendono entrambi i termini tra parentesi = 0. Ad esempio:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • In questo caso, la tua unica intercetta x è -1 perché l'impostazione di x uguale a -1 renderà uno dei termini fattorizzati tra parentesi uguale a 0.

• Usa la formula quadratica. Se non riesci a risolvere facilmente le tue intercettazioni x o fattorizzare la tua equazione, usa un'equazione speciale chiamata formula quadratica progettata proprio per questo scopo. Se non lo è già, porta la tua equazione nella forma ax² + bx + c, quindi inserisci a, b e c nella formula x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a. Nota che questo spesso ti dà due risposte per x, il che è OK - questo significa solo che la tua parabola ha due x intercettazioni. Vedi sotto per un esempio:

  • -5x² + 1x + 10 viene inserito nella formula quadratica come segue:
  • x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Rtq(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) e (-15,18/-10). Le x intercettazioni della parabola sono approssimativamente a x = - 1.318 e 1.518
  • Il nostro precedente esempio di modulo standard, 2x² + 16x + 39 viene inserito nella formula quadratica come segue:
  • x = (-16 +/- SqRt(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  • Poiché trovare la radice quadrata di un numero negativo è impossibile, sappiamo che nessuna x intercetta esistono per questa particolare parabola.

Passaggio 9. Se necessario, trovare e tracciare l'intercetta y

Anche se spesso non è necessario trovare l'intercetta y di un'equazione (il punto in cui la parabola passa attraverso l'asse y), alla fine potrebbe esserti richiesto, soprattutto se sei a scuola. Questo processo è abbastanza semplice: basta impostare x = 0, quindi risolvere l'equazione per f(x) o y, che ti dà il valore y al quale la tua parabola passa attraverso l'asse y. A differenza delle intercettazioni x, le parabole standard possono avere solo un'intercetta y. Nota: per le equazioni in forma standard, l'intercetta y è in y = c.

• Ad esempio, conosciamo la nostra equazione quadratica 2x² + 16x + 39 ha un'intercetta y in y = 39, ma può anche essere trovata come segue:

  • f(x) = 2x² + 16x + 39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. L'intercetta y della parabola è at y = 39.

    Come notato sopra, l'intercetta y è a y = c.

• La nostra equazione della forma del vertice 4(x - 5)² + 12 ha un'intercetta y che può essere trovata come segue:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. L'intercetta y della parabola è a y = 112.

Passaggio 10. Se necessario, tracciare punti aggiuntivi, quindi tracciare un grafico

Ora dovresti avere un vertice, una direzione, un'intercetta x e, possibilmente, un'intercetta y per la tua equazione. A questo punto, puoi tentare di disegnare la tua parabola usando i punti che hai come linea guida, oppure puoi trovare più punti per "riempire" la tua parabola in modo che la curva che disegni sia più accurata. Il modo più semplice per farlo è semplicemente inserire alcuni valori x su entrambi i lati del vertice, quindi tracciare questi punti utilizzando i valori y ottenuti. Spesso, gli insegnanti ti chiederanno di ottenere un certo numero di punti prima di disegnare la tua parabola.

• Rivisitiamo l'equazione x² + 2x + 1. Sappiamo già che la sua unica intercetta x è in x = -1. Poiché tocca solo l'intercetta x in un punto, possiamo dedurre che il suo vertice è la sua intercetta x, il che significa che il suo vertice è (-1, 0). Abbiamo effettivamente solo un punto per questa parabola, non abbastanza per disegnare una buona parabola. Troviamone altri per assicurarci di tracciare un grafico accurato.

  • Troviamo i valori y per i seguenti valori x: 0, 1, -2 e -3.
  • Per 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Il nostro punto è (0, 1).

  • Per 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Il nostro punto è (1, 4).

  • Per -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Il nostro punto è (-2, 1).

  • Per -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Il nostro punto è (-3, 4).

  • Traccia questi punti sul grafico e disegna la tua curva a forma di U. Nota che la parabola è perfettamente simmetrica - quando i tuoi punti su un lato della parabola giacciono su numeri interi, di solito puoi risparmiare un po' di lavoro semplicemente riflettendo un dato punto attraverso l'asse di simmetria della parabola per trovare il punto corrispondente sull'altro lato della parabola.

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Suggerimenti

• Nota che in f(x) = ax² + bx + c, se b o c è uguale a zero, quei numeri scompaiono. Ad esempio, 12x² + 0x + 6 diventa 12x² + 6 perché 0x è 0.
• Arrotonda i numeri o usa le frazioni come ti dice il tuo insegnante di algebra. Questo ti aiuterà a rappresentare graficamente correttamente le tue equazioni quadratiche.